【作　　者】
尹 楠（博士）

【作者单位】
（南京晓庄学院商学院，南京 211171）

【摘　　要】

      【摘要】本文探讨投资组合优化问题中有效边界的绘制，基于实证分析利用均值方差模型方法和模拟退火算法分别绘制出投资组合的有效边界。结论表明，基于模拟退火算法绘制出的有效边界相对精确。
【关键词】均值方差模型；模拟退火算法；有效边界一、引言
投资组合最优化问题是指投资者对各种证券商品，例如股票、债券等进行投资选择而形成的多个投资品种组合，在一定的约束条件下，使投资者的投资收益达到最大化。投资的目的就是要获得最大的收益，同时承担最小的风险。为了找到期望收益和投资风险之间的平衡，Markowitz首先提出了证券投资组合理论，国内不少学者也基于该理论研究了投资组合的最优化问题，如荣喜民等（2005）研究了基于均值—VAR的投资组合最优化问题，利用均值—VAR方法，提出了有交易费用存在时的最优投资组合模型。张立新等（2005）提出了风险资本的组合投资最优化模型，利用委托代理理论建立了风险资本的组合投资最优化模型，通过模型给出了项目数和收益分配比例的最优解。
但如何寻找到投资组合中的有效边界，并没有专门的文献研究此问题，除了可以利用传统的均值方差模型寻找有效边界之外，还可以利用随机控制理论中的模拟退火算法绘制出投资组合的有效边界。本文正是基于这两种方法绘制出投资组合中的有效边界。
二、基于均值方差模型有效边界
1. 均值方差模型的思想。Markowitz（1952）提出了一个在不确定条件下可实现的资产组合选择理论：均值-方差模型方法。该方法的基本思想如下：资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的加权平均，以构成比例为权重。每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，假定市场上有资产1，2，…，N。资产i的期望收益率为E（ri），方差为σi，资产i与资产j的协方差为σij（或相关系数为ρij）（i=1，2，…，n，j=1，2，…，m）投资者的投资组合为：投资于资产i的比例为Wi，i=1，2，…，N。
则资产组合的期望收益为：
E（rp）[=i=1nwi]E（ri）
多资产组合的方差：
                            其中σii=[σ2i]
协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，资产的协方差可以表述如下：
σAB=cov（rA，rB）
     =E（rA-E（rA））（rB-E（rB））
多个资产的方差—协方差矩阵：

2. 实证分析。基于某证券交易所20只股票6个月以上的大量交易数据记录，在统计分析软件R语言中计算出20只股票的协方差阵和平均收益，并将平均收益率绘制成散点图的形式，如图1所示。20只股票的平均期望收益率在图中显示比较分散。

利用R统计软件可以画出这20只股票投资组合的有效边界，根据均值方差模型的原理，随机的模拟出1万次和10万次投资组合的权重，将全部投资组合的点画在均值方差图中，选择每个期望收益下风险最小的点，即标准差最小的点连成有效边界曲线，如图2所示。从图中可以看出，这种方法的实现过程比较简单，需要大量的模拟才能得到一个相对有效的结果，且1万次和10万次模拟得出的有效边界存在一定的差异，并不是很精确。
三、基于模拟退火算法的有效边界
1. 模拟退火算法的思想。模拟退火算法起源于物理上的退火过程，模拟退火算法最早的思想由Metropolis（1953）提出，Kirkpatrick（1983）将其应用于组合优化。其原理可以表述为：模仿自然界退火现象而得，利用了物理中固体物质的退火过程与一般优化问题的相似性。从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解。其模仿物理退火的加温、等温和冷却过程，在一定温度下，搜索从一个状态随机地变化到另一个状态，随着温度的不断下降直到最低温度，搜索过程寻找到全局最优解。数学思想可以表述如下：
在温度T，分子停留在状态r满足Boltzmann概率分布：
      P｛E=E（r）｝=[1Z(T)]exp[-E(r)kBT]
E表示分子能量的一个随机变量，E（r）表示状态r的能量，kB>0为Boltzmann常数。Z（T）为概率分布的标准化因子：
 

在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有
P｛E=E1｝-P｛E=E2｝=

模拟退火算法的主要步骤可以表述如下：
初始化：给定初温t=t0，随机产生初始状态s=s0，令k=0；
         Repeat
              Repeat
              产生新状态： sj=Generate（s）；
                   if min｛1，exp［-（C（sj）-C（s））/tk］｝>=random［0，1］    s=sj；
              Until 抽样稳定准则满足；
              退温tk+1=update（tk）并令k=k+1；
         Until 算法终止准则满足；
         输出算法的搜索结果。
2. 实证分析。基于模拟退火法的基本思想，需要确定初始温度和内循环次数，这两个参数是最重要的参数，直接决定着算法的循环次数和优化效果，如果初始温度设置过低，则退温次数越少，导致搜索到全局最优的可能性越小。相反的如果初始温度选择越高，退温次数越多，搜索到全局最优的可能性越大。但算法迭代次数的增加也会降低算法的可行性和有效性，因此需要通过多次尝试来确定模拟退火法的有效边界，选择最适合的参数控制循环次数和结果。

当把初温设置为10 000，内循环次数设置为10时，利用R统计软件画出的有效边界如图3所示，从图中看出，20只股票投资组合的点比较分散，循环次数过少使得有效边界不明显。

当提高初始温度到100 000，循环次数为50时，20只股票投资组合的点比较集中，优化的效果比较好。有效边界如图4所示。

如图5所示，当把初始温度提升至1 000 000，内循环次数为100时，20只股票投资组合的点的集中度不是很好，有效边界也没有图4画出得好，因此根据20只股票投资组合最优化的有效边界选择图4中显示的有效边界效果最好。
四、小结
基于以上两种方法，均可以绘制出投资组合优化问题中的有效边界。从实证的效果来看，利用均值方差模型方法绘制出的有效边界比较简单，基于大量的模拟才能得到结果，本文只是基于20只股票的交易数据所作出的一个模拟演示。如果投资组合数量过多，例如有1 000只股票的情况下，利用此方法就很难得到有效的结果，并且需要进行大量的模拟，容易导致计算机运算死机。但这种方法作为研究投资组合优化问题最常用的方法，在现实中得到了广泛的应用。基于模拟退火算法绘制出的投资组合的有效边界相对来说要较精确，并且运算速度相对较快，本文基于这种方法所做的一个实证模拟也找到了相对精确的有效边界图形。
主要参考文献
荣喜民，武丹丹，张奎廷.基于均值-VaR的投资组合最优化［J］.数理统计与管理，2005（5）.
张新立，杨德礼，王青建.风险资本的组合投资最优化模型研究［J］.经济数学，2005（4）.
埃德温·J.埃尔顿，马丁·J.格鲁伯，斯蒂芬·J.布朗，威廉·N.戈茨曼.现代投资组合理论和投资分析［M］.北京：机械工业出版社，2008.
朱颢东，钟勇.一种改进的模拟退火算法［J］.计算机技术与发展，2009（6）.