2017年
财会月刊(14期)
工作研究
离散有限型投资决策模型的扩展与完善

作  者
陈 静,丁岳维(教授)

作者单位
长安大学经济与管理学院,西安710064

摘  要

    【摘要】在离散和有限的基础上,对投资决策模型进行扩展与完善,使离散变为连续、有限变为无限,并利用MATLAB软件对其函数图像进行分析。通过分析函数图像,在可行域内寻找投资决策模型的最佳决策时机,并利用二分法原理改变其主要影响变量的大小,进一步分析净现值与时间的函数关系的变化情况,可得出理想的函数关系曲线并寻找可行域内的最佳投资时机。
【关键词】投资决策;净现值;投资时机;最优解
【中图分类号】F202      【文献标识码】A      【文章编号】1004-0994(2017)14-0056-5一、投资决策问题的提出
1. 原决策问题的提出。荆新、王化成等的《财务管理学(第七版)》第8章例8-6假定:随着时间的推移,经济林的数目将更加茂密,单位面积的经济价值会逐年提高。根据预测,单位面积的销售收入将逐年增加,采伐成本也会逐年增加,在假定条件下研究两个时机的林木采伐决策问题。
原例题:林木可供采伐4年,初始成本为100万元,直线法折旧年限为4年,无净残值,营运资本垫支20万元,采伐结束后收回。计划每年采伐200亩林木,首年每亩销售收入为1万元,每亩林木的付现成本为0.35万元,每年每亩林木的销售收入提高20%,采伐成本增加10%,得到三年后采伐的结论。这一案例虽简单,却给出一类确定最佳投资时机的决策问题,教材从两个时机中选优是值得商榷的。笔者认为最优解应在区间内或从多个时机中选取。
对林木采伐或同类问题,可考虑树木的成熟期,在预测条件下,在林木销售收入、采伐付现成本以一定百分比变化的基础上,可以建立净现值关于时间的函数关系模型,研究净现值是如何随着时间的变化而变化的,即从动态效率原则出发,推算出林木采伐的最优时机,以保证从中获得最大净收益。
2. 新决策问题的提出。目前,投资决策的前沿理论为实物期权理论,国内仅有少量关于林业采伐投资决策的相关文献资料。杨屹等(2004)提出了不完全信息下实物期权定价方法的未来研究领域和技术路线。他们介绍的林业采伐决策理论基于收益最大化考虑,采用收益净现值法,该方法下的林业采伐决策理论的核心是林业价值评估。张兰花等(2010)从林农采伐成本的角度,基于限额采伐管理分析了林业采伐决策的影响。姜昕、王秀娟(2013)在Tietenberg(2003)和Randall(1987) 的模型设计的基础上,将单期最优采伐决策模型扩展到无限期,并考虑了木材价格上涨、环境效益和代际公平等影响因素,建立起一个动态效率原则下的最优采伐决策模型。
基于前述例题中的模型设计,本文首先将原例题中的有限期最优采伐时机决策模型扩展到无限期,并将最优采伐时机决策所在的年份进一步扩展到某一具体时间,建立起一个有效的采伐时机决策模型;然后以此模型论证不同情况下的最优林木采伐时机,以实现净现值(NPV)的最大化。
二、最佳投资决策模型的构建
新建投资决策模型以林木可采伐时间的区间为其可行域,且时间为可行域上的任一时点,以保证新建投资决策模型的无限性和连续性,便于在可行域内求得最大净现值所对应的时间点。
(一)投资决策模型对时机的假设
1. 模型所用变量与符号的定义。模型中:t表示采伐时间,以年为单位;k0表示折现率;k1表示销售收入的年增长率;k2表示付现成本的年增长率;NPV表示净现值,是时间t的函数;NCFt表示现金净流量;CI表示现金流入量;CO表示现金流出量;C0表示初始成本。
2. 假设因素的扩展。
(1)时间的连续性。在前面所述例题中,只考虑了现在和三年后两个时点的情况,实际上林业公司也可以在两时点间的某一时点采伐,可能会出现在该区间某一时点采伐、净现值更大的情况。因而,要将采伐时间由间断的两个点扩展到一个区间,保证时间的连续性,以便在该区间内找到最佳投资时机。
(2)有限决策变无限。只考虑现在和三年后两种情况具有一定的局限性,而林业公司在林木的可采伐时间区间内均可进行林木的采伐,因此要找到最佳采伐时机,就需要考虑林木的整个可采伐时间区间,在该区间内的任一点都可能会是最佳采伐时机。所以,要在可采伐时间区间内建立投资决策模型。
(二)新投资决策模型的建立
本文的目标函数是:


在k0、k1、k2均未知且不考虑其他条件的情况下,第t年初采伐的营业现金流量如表1所示,第t年初采伐的现金流量如表2所示。
此时,净现值NPV与时间t的函数关系为:
NPV(t)=        [150×(1+k1)n-52.5×(1+k2)n+6.25]/(1+k0)n+1-120
(三)扩展投资决策模型简评
1. 新建投资决策模型的优点。与原有的投资决策模型相比,新建投资决策模型不仅可以将两个时点的净现值单独对比,从有限点中得到最优值,还可获得可行域,即可采伐时间段中能够使用的函数值,也就是净现值达到最大值的点,实现了投资决策中时间的连续性和无限性,使投资决策更简洁直观。
2. 新建投资决策模型的开拓点。新建投资决策模型的开拓点为函数图像的增减变化趋势。利用函数图像可直观反映出可行域中函数的最大值点。
3. 相关参数的界定。在新建投资决策模型中,将折现率k0、付现成本的年增长率k2作为确定的参数,销售收入的年增长率k1作为不确定的参数,以便分析k1变化时该模型的整体变化趋势。(一)原投资决策模型的结果及分析
在前述条件下,可以计算出当前采伐的净现值以及三年后采伐的净现值,并加以比较。
当前采伐的净现值为:
NPV(1)=     {200×(1+20%)t-70×(1+10%)t-25%×[200×(1+20%)t-70×(1+10%)t-25]}/(1+10%)t+1-120
            =[976108529282]≈333.347619
三年后采伐的净现值为:
NPV(2)=     {200×(1+20%)t-70×(1+10%)t-25%×[200×(1+20%)t-70×(1+10%)t-25]}/(1+10%)t+1-120
            =[1002956388019487171]≈514.675212
可见,三年后采伐的净现值更大,采伐更为合理。但因只有两组数据,数据过于单一,并不能很好地得出三年后是最佳投资时机的结论。因此需对数据进行扩展,使其变为无限、连续的,再对新建模型进行计算分析。
(二)新建投资决策模型的结果及分析
1. 情形一。如果k0=k2=10%,k1=20%,则:
NPV1(t)=[7618751331]·([1211])t+[1160255324]·([1011])t-[342011]
其导函数为:

 


令NPV1"(t0)=0 ,得t0≈-5.1075,而t的取值为非负,即NPV1"(t)在(0,+∞)上都大于零,NPV1(t)单调递增,因而,净现值NPV1在可能的时间范围内呈现递增趋势,且增长率逐渐增大。利用MATLAB软件画出该函数的图像,反映出净现值NPV1随时间t变化的趋势,时间t为相应横坐标,净现值NPV1为相应纵坐标,如图1所示。
图1表明,该函数在t=0处的取值在(280,290)内,并且在无限期内可以达到无限大。在实际的林木采伐时机决策中,鉴于林木采伐年龄是有一定期限的,因而在林木可采伐的年龄期的最后一年年末采伐,所获得的净现值大于其他任何年份,即净现值NPV在最后一年年末可达到最大值,因而该时间点就是林木最佳采伐时机。
根据净现值NPV1与时间t的函数关系式可以看出,净现值的升降趋势是由1+k1与1+k0的比值以及1+k2与1+k0的比值决定的,也就是由k1与k0的比值以及k2与k0的比值决定的。在上述过程中,k0=k2=10%,k1=20%时,函数是单调递增的。
假设k0=k2=10%,k1未知,净现值NPV与时间t的函数关系式可以表达为:
NPV1(t)=[1-(1+k11110) 41-1+k11110]∙[1501+k1]∙([1+k11110])t +
[1160255324]∙([1011])t-[342011]
2. 情形二。现令k1=10%,将k1的值代入上述函数关系式中,整理可得到:
NPV2(t)=[1160255324]·([1011])t-[258011]
显然,由于([1011])t在(0,+∞)上单调递减,该函数也是单调递减的。净现值NPV2在可能的时间范围内呈现递减趋势,且递减率逐渐增加。利用MATLAB软件画出该函数的图像,反映出净现值NPV2随时间t变化的趋势,时间t为相应横坐标,净现值NPV2为相应纵坐标,如图2所示。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图2表明,该函数在t=0处的值最大,如果NPV2(0)>0,那么在林木采伐时机决策中,管理者应选择在林木可采伐的年龄期的期初就采伐林木,此时所获得的净现值为最大值,所以林木可采伐的年龄期的期初即为林木最佳采伐时机。然而根据图2所示的函数图像,可以得到NPV2(0)<0,也就是说无论t取何值,净现值NPV2都小于0。究其原因,相对于付现成本的年增长率而言,销售收入的年增长率过小,无论在哪个时间采伐,其净现值都小于零,因此这种情况下并不适宜采伐林木。
通过以上两种不同情况下对净现值NPV与时间t的函数关系曲线变化趋势的讨论,可看出当k0、k2不变,k1由20%减小到10%时,函数关系变化趋势由单调递增变为单调递减。指数函数的图像是随着底数的连续变化而逐渐改变的,净现值NPV与时间t的函数关系曲线与之相似,由此可以推断随着k1的连续变化,净现值NPV与时间t的函数曲线变化趋势也是连续的。此外,底数不同的指数函数其图像也是不同的,因此t取任意值时,净现值NPV与时间t的函数曲线都不会与x轴平行。综上所述,k1在区间(10%,20%)内进行取值时,会出现净现值NPV与时间t的函数曲线为U型的情况。因此,本文将运用二分法进行以下情况的讨论和分析。
3. 情形三。k1取(10%+20%)/2,即取15%时,净现值NPV3与时间t的函数关系为:
NPV3(t)=[1709437530613]·([2322])t+[1160255324]·([1011])t-[342011]
其导函数为:

 


令NPV3"(t0)=0 ,得到t0≈-17.7499,而t的取值为非负,即NPV3"(t)在(0,+∞)上都大于零,NPV3(t)单调递增,净现值NPV3在可能的时间范围内呈现递增趋势,且增长率逐渐增大。利用MATLAB软件画出该函数的图像,反映出净现值NPV3随时间t变化的趋势,时间t为相应横坐标,净现值NPV3为相应纵坐标,如图3所示。

 

 

 

 

 

 

 

 

 


由图3可以看出,净现值NPV3随时间t的增加呈上升趋势,但与净现值NPV1与时间t的函数图像变化趋势相比较为平缓。因此,再以15%作为取值区间的右端点,令k1取(10%,15%)的中间值,得到净现值NPV4与时间t的函数关系。经检验,所得函数图下去,得到递增函数NPV5(t)、NPV6(t)……
4. 情形四。当k1取10.078125%时,所得函数关系式为:
NPV9(t)=[41914266243757681552384]∙([14091408])t+
[1160255324]∙([1011])t-[342011]
其导函数为:
NPV9(t)=[41914266243757681552384]∙ln[14091408]·([14091408])t +[1160255324]·ln[1011]∙([1011])t
令NPV9"(t0)=0,得到t0≈17.4887,发现NPV9(t)在(0,t0)上单调递减,在(t0,+∞)上单调递增,即NPV9(t)在t0处取得最小值。利用MATLAB软件画出该函数的图像,反映出净现值NPV9随时间t变化的趋势,时间t为相应横坐标,净现值NPV9为相应纵坐标,如图4所示。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

由图4可以看到,NPV9(t)的函数图像呈U型,即先减后增。NPV9(t)在区间(17.4,17.6)内取得最小值,且最小值为正数,也就是任意NPV9(t)的值均为正。而且在区间(17.9,18)内存在某一点t1,使得NPV9(t1)的值与NPV9(0)的值相等。于是,林木可采伐的年龄期仅包括t1左边的点(包括t1点)时,在该区间内函数的最大值为t=0处的值,也就是说,林木可采伐的年龄期的期初即为林木最佳采伐时机。林木可采伐的年龄期也包括t1右边的点时,林木最佳采伐时机则为林木可采伐的年龄期的期末。
(三)启示
该投资决策模型充分考虑了林木采伐的整个时间区间,对原有投资决策模型的选择时机进行扩展,突破了非此即彼的局限,更加贴近于实际。在林业资源管理中,采伐决策的时机选择往往受林木生长情况、市场环境、国家财经政策等多种因素的影响,其中较为直接的因素是采伐付现成本与采伐量。本文新建了林业采伐的投资决策模型,探讨第t年的净现值与时间的关系,研究各参数对净现值的影响,从而得出了最优的林木采伐时机。
在整个林木的可采伐期内进行最优的投资决策时机选择,同样可适用于其他的投资决策案例中,建立相关参数的投资决策模型,从而得出最优解,对投资决策者而言更加贴近于实际,也更加有利。
四、结论
本文讨论了在不同销售收入增长率下净现值的结果并进行了对比,选取了林木采伐的最佳时机。但所采用的NPV方法还是有缺陷的,主要表现为:项目投资期内各年所产生的净现金流量是估算出的,不能保证其精确度;假设整个项目投资期内不出现预期之外的大的环境变化;实际投资活动的不可逆性与NPV方法假设的投资活动可逆性的冲突。然而现实的投资环境千变万化,存在大量的不确定因素,不可能准确确定各种数据的值。种种缺陷限制了NPV方法的准确性,所以根据NPV方法得出的结果仅可为投资者进行投资活动提供参考。

主要参考文献:
荆新,王化成,刘俊彦.财务管理学(第七版)[M].北京:中国人民大学出版社,2015.
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杨屹,扈文秀,杨乃定.实物期权定价理论综述及未来研究领域展望[J].数量经济技术经济研究,2004(12).
张兰花等.限额采伐管理制度对林农采伐决策影响分析[J].林业经济问题,2010(6).
姜昕,王秀娟.森林的最优采伐决策模型[J].林业科学,2013(9).