【作 者】
王 雪
【作者单位】
郑州成功财经学院会计系，河南巩义451200
【摘 要】
【摘要】产品组合优化决策主要用于多品种产品生产的情形，在共用资源受到约束时，应使各种产品的产量组合达到最优化结构，使有限资源的利用效率达到最大，从而使企业获得最大收益。本文主要研究两种产品共用单一约束资源、两种产品共用两种约束资源、三种产品共用两种约束资源和多种产品共用两种约束资源四种情形下如何利用逐次测算法、图解法、单纯形法进行组合优化决策，最后分析了三种方法的使用限制情况。
【关键词】产品组合优化决策；逐次测算法；图解法；单纯形法；约束资源
【中图分类号】F273 【文献标识码】A 【文章编号】1004-0994（2016）14-0046-4企业在组织生产经营时，如果有多个产品可供企业选择生产，则应以单位产品边际贡献作为衡量指标，优先选择单位产品边际贡献最大的产品进行生产，从而为企业增加最多的利润。但是，如果某些资源受到了约束，比如产品的市场需求量或者工时总数、原材料等生产能力，企业的生产遭遇到瓶颈等，则不能简单地依据单位产品边际贡献这个指标进行选择，而需要根据不同的情况进行选择，才能最有效地利用有限资源，使企业效益最大化。
一、两种产品共用单一约束资源
单一资源受限时，应优先安排生产单位约束性资源边际贡献最大的产品，剩余资源再安排生产另一种产品，这样可以提高约束资源的利用效率，获得最大的边际贡献总额。
例1：某公司生产一种自行车专用挂包，挂包有两种款式：登山专用和旅行专用。这两种挂包共用一台机器设备，设备工时数为2000小时，生产单位登山专用挂包需要耗用2小时，生产单位旅行专用挂包需要耗用1小时，这两种挂包的相关收入及成本数据如表1所示：
从表1可以看出，登山专用挂包的单位产品边际贡献和边际贡献率均高于旅行专用挂包，但登山专用挂包单位产品工时边际贡献为7.5元（15÷2），2000小时所获得的边际贡献总额为15000元（2000×7.5），而旅行专用挂包单位产品工时边际贡献为12元，2000小时所获得的边际贡献总额为24000元（2000×12），因此，应当选择生产单位资源边际贡献大的旅行专用挂包，使有限的资源得到最有效的利用，以获得最多的收益。而且，即使考虑市场需求因素，也应当把有限的资源优先安排生产单位资源边际贡献更大的旅行专用挂包，再将剩余的资源安排生产单位资源边际贡献相对较低的登山专用挂包。
二、两种产品共用两种约束资源
两种产品共用两种生产资源，而这两种资源又有约束限制的情况下，可以采用逐次测算法、图解法或者两者相结合的方法，以提高有限资源的利用效率。
（一）一种产品两种资源的单位资源边际贡献均大于另一种产品
假定第一种产品两种资源的单位资源边际贡献均大于第二种产品，在进行组合优化分析时，可以将有限的资源优先用于生产第一种产品，剩余资源再用于生产第二种产品。
例2：某公司生产A、B两种产品，经历两道生产工序，两种产品的加工时间及收入、成本资料如表2所示：
A、B产品的单位资源边际贡献计算结果如下页表3所示。从表3可以看出，在第一工序和第二工序中，A产品的单位工时边际贡献均大于B产品的单位工时边际贡献，这说明将有限的资源用于生产A产品将会获取更多的收益，由此可知，应优先安排A产品的生产，剩余资源再用于生产B产品。由此可知，A产品的产量为4000件，而B产品的产量为Min［（24000-4000×3）/5，（30000-4000×4）/6］=Min（2400，2333），因此应安排B产品的产量为2333件，第一工序剩余工时为335小时（12000-2333×5），获得的边际贡献总额为317982元（4000×48+2333×54）。
此时，也可以采用逐次测算法或者图解法，都能获得相同的结果。
（二）每种产品两种资源的单位资源边际贡献均不占绝对优势
假定对于第一种资源，第一种产品的单位资源边际贡献大于第二种产品的该资源单位边际贡献，而另一种资源则是第二种产品的单位资源边际贡献大于第一种产品的该资源单位边际贡献，在这种情况下，无法直接判断应该将有限资源优先用于生产哪一种产品，则可以采用逐次测算法或者图解法进行产品组合优化决策。
例3：沿用上例资料，把B产品的单位产品边际贡献调整为75元，其他数据均不变。计算A、B产品在两道工序中的单位资源边际贡献，结果如表4所示：
第一工序中，A产品的单位工时边际贡献>B产品的单位工时边际贡献，而在第二工序中，A产品的单位工时边际贡献<B产品的单位工时边际贡献，因此，无法直接判断应优先满足A产品还是B产品的生产需求，此时可以选择逐次测算法或图解法进行产品组合优化决策。
1. 逐次测算法。
（1）第一次测试。将有限的资源优先安排A产品的生产，剩余资源再安排B产品的生产。
根据约束条件，优先安排A产品的产量为4000件，所耗用的第一工序工时数为12000小时（4000×3），第一工序剩余工时为12000小时（24000-12000），此时利用第一工序剩余工时所能生产的B产品的最大产量为2400件（12000/5）；A产品所耗用的第二工序工时数为16000小时（4000×4），第二工序剩余工时为14000小时（30000-16000），利用第二工序剩余工时所能生产的B产品的最大产量为2333件（14000/6）。
综合考虑第一工序和第二工序中B产品的最大产量，应选择生产B产品2333件，此时，第一工序剩余工时数为335小时（12000-2333×5），第二工序没有剩余工时，A、B产品的产量组合为A产品4000件、B产品2333件，所能取得的边际贡献总额为366975元（48×4000+75×2333）。
（2）第二次测试。将有限资源优先安排B产品的生产，剩余资源再安排A产品的生产。
根据约束条件，优先安排B产品的产量为3000件，所耗用的第一工序工时为15000小时（3000×5），第一工序剩余工时为9000小时（24000-15000），此时利用第一工序剩余工时所能生产的A产品的最大产量为3000件（9000/3）；B产品所耗用的第二工序工时为18000小时（3000×6），第二工序剩余工时为12000小时（30000-18000），利用第二工序剩余工时所能生产的A产品的最大产量为3000件（12000/4）。
综合考虑第一工序和第二工序中A产品的最大产量，应选择生产A产品3000件，此时，第一工序和第二工序均没有剩余工时, A、B产品的产量组合为A产品3000件、B产品3000件，所能取得的边际贡献总额为369000元（48×3000+75×3000）。
根据两次测试结果可知，最优产品组合为A产品3000件、B产品3000件。
2. 图解法。假定A、B两种产品的产量分别为x和y，依据上述约束条件，建立线性规划模型如下所示：
约束条件： 3x+5y≤24000 L1
4x+6y≤30000 L2
0≤x≤4000 L3
0≤y≤3000 L4
目标函数：MaxS=48x+75y
在二维坐标轴中依据约束条件画出几何图形，得到其可行解区域，如下图所示：
上图中，阴影面积为可行解区域，虚线为等利润线。等利润线与可行解区域相交于A点，点A（3000，3000）为最优解，即A、B产品均生产3000件时，边际贡献总额达到最大，此时，MaxS=48×3000+75×3000=369000（元）。
通过分析上图，可以得到如下结论：
（1）等利润线的斜率是两种产品单位边际贡献之比，而两条资源限制线L1 线与L2线的斜率是两种产品的同一资源量之比，等利润线的斜率与L1线的斜率进行对比，就可以转化为两种产品第一种资源的单位资源边际贡献之比；同理，等利润线的斜率与L2线的斜率进行对比，就可以转化为两种产品第二种资源的单位资源边际贡献之比。
（2）等利润线的斜率介于L1线与L2线之间，此时必然有两种产品各占一种资源优势，即每种产品均有一个资源的单位资源边际贡献超过了另一产品，此时无法判断是否可以采用逐次测算法进行组合优化决策；如果等利润线的斜率不是介于L1线与L2线之间，此时必然有一种产品两种资源的单位资源边际贡献均超过了另一种产品，占据了绝对优势，因此，可以直接做出将有限资源优先用于满足该种产品生产、剩余资源再用于生产另一产品的决策。
（3）如果A、B两种产品都没有最大产量限制，但因为两种资源受到了约束，依然可以得到可行解区域，等利润线与可行解区域的交点取决于L1线、L2线与等利润线的斜率大小关系：①等利润线的斜率介于L1线与L2线之间，等利润线与可行解区域的交点依然是在点A（3000，3000）时边际贡献总额达到最大，此时不能单独采用逐次测算法进行优化决策，需要采用图解法；②等利润线的斜率不是介于L1线与L2线之间，则将有限资源全部用于生产单位资源边际贡献占据绝对优势的产品，此时获取的边际贡献总额最大。
（4）图中，假定A产品的产量不变，如果B产品的产量小于等于3000件，L1线与L2线的交点位于可行解区域边缘或者外部，此时的最优解中至少有一种产品的产量满足了最大产量需求，既可以采用图解法，也可以单独采用逐次测算法进行产品组合优化决策，两种方法分析的结果完全一致；但是如果B产品的产量超过了3000件，此时A点处于可行解区域内部，即可行解区域在A点处出现凸点，此时最优解中两种产品的产量都没有满足最大产量需求，因此不能单独采用逐次测算法进行优化决策，可以采用图解法或者图解法与逐次测算法相结合的方法。
三、三种产品共用两种约束资源
三种产品共用两种生产资源，每种资源都有约束条件，可以采用线性规划法——单纯形法进行产品组合优化的决策，使各种约束资源得到最有效的利用，为企业创造更多的收益。
例4：某公司生产甲、乙、丙三种产品，三种产品共用设备工时总数为28000小时，共用人工工时总数为38000小时。甲、乙、丙三种产品的相关收入及成本资料如表5所示。
甲、乙、丙三种产品的单位资源边际贡献如表6所示：
从单位资源边际贡献这个指标无法判断应该优先生产甲、乙、丙哪个产品，而三种产品共用两种资源无法用图解法，因此本文将借助线性规划法——单纯形法进行最优产品组合决策。
根据以上条件，假定甲、乙、丙三种产品的产量分别为x1、x2、x3，依据约束条件，建立如下线性规划模型：
约束条件： 3x1+5x2+4x3≤28000
5x1+6x2+5x3≤38000
0≤x1≤3000
0≤x2≤2000
0≤x3≤2500
目标函数：MaxS=42x1+60x2+52x3
根据线性规划法，将上述约束条件加入松弛变量x4、x5、x6、x7、x8，化为标准型，如下所示：
3x1+5x2+4x3+x4=28000
5x1+6x2+5x3+x5=38000
x1+x6=3000
x2+x7=2000
x3+x8=2500
xn≥0，n=1，2，3，4，5，6，7，8
利用单纯形表，进行甲、乙、丙三种产品的优化组合生产，运算过程如下页表7所示。
由表7（5）中λj全部非正可知，最优解为X=（19500/7，13500/7，2500，0，0，1500/7，500/7，0）T。
因此，A产品产量为19500/7件、B产品产量为13500/7件、C产品产量为2500件时，边际贡献总额达到最大，为362714元。因产量不能为小数，取整，A产品产量为2785件，B产品产量为1928件，C产品产量为2500件。此时，剩余设备工时为5小时，剩余人工工时为7小时，还可以再生产一件A或者一件B产品，因为单位B产品的边际贡献60元大于单位A产品的边际贡献42元，因此，选择生产一件B产品比生产一件A产品能够增加更多的边际贡献。所以，最优的产品组合为A产品产量为2785件，B产品产量为1929件，C产品产量为2500件，此时设备工时无剩余，人工工时剩余1小时，边际贡献总额为362710元（2785×42+1929×60+2500×527），此时所有资源均得到了最充分的利用，所获得的边际贡献总额最大。
四、多种产品共用两种约束资源
多种产品共用两种约束资源时，首先计算多种产品的每一资源的单位资源边际贡献，如果有一种产品在每一个资源上的单位资源边际贡献都占据绝对优势，则将有限资源优先用于生产该产品，剩余资源再用于生产其余产品；如果多种产品各在不同的资源上占据优势，则无法通过单位资源边际贡献直接判断应优先满足哪种产品的生产，此时，需要根据情况决定采用逐次测算法、图解法或者单纯形法来进行产品组合优化决策。单独采用逐次测算法有严格要求，即需要至少有N-1种产品的产量满足最大产量需求，否则无法单独使用。图解法只能用于两种产品共用两种有限资源的情况，如果超过两种产品，二维图形则无法解决问题，需要用到多维图形。而利用单纯形法进行产品组合优化决策则不受上述约束。
主要参考文献：
孙茂竹，文光伟，杨万贵．管理会计学［M］．北京：中国人民大学出版社，2015．
彼德·C.布鲁尔，雷·H.加里森，埃里克·W.诺琳著．刘洪生，王满译．管理会计导论［M］．大连：东北财经大学出版社，2009．
