【作　　者】
薛 凤1，陈绍刚2（教授）

【作者单位】
（1.电子科技大学成都学院，成都 611731；2.电子科技大学数学科学学院，成都 611731）

【摘　　要】

      【摘要】本文基于斯塔克伯格模型，在线性需求函数和线性成本函数条件下，讨论了实力悬殊的一个领导厂商与一个追随厂商同时实施二度价格歧视和三度价格歧视时如何决策以使其取得的利润最大。给出了两个厂商在两个市场实施三段分段定价时的最优销售量、最优价格及最大利润等若干公式，并将相关公式与基于古诺模型的两类差别定价的相关公式进行对比，得出研究结论。
【关键词】价格歧视；斯塔克伯格模型；利润最大化；交互效应

一、引言
对二度价格歧视和三度价格歧视的研究近年来受到普遍关注，尤其是垄断情况下的研究已有了相当丰富的成果，但现实中在竞争状态下实施价格歧视的情况更为普遍。陈绍刚、高兴佑、唐小我（2003）首次阐述了两厂商在市场竞争条件下，实施二度价格歧视时各自获得消费者最大剩余要受到对方决策的制约，给出了将区间实行n段分段的纳什均衡的存在条件及结果。其后陈绍刚、高兴佑、唐小我（2005）揭示了竞争状态下两厂商在实行二度价格歧视时当需求区间分为n段时均衡结果的一般规律。然而，对竞争状态下的三度价格歧视的研究相对比较少，唐小我、付崇伦（1996）在线性成本函数的条件下对完全垄断市场情形下实行三度价格歧视的有效性做了比较系统的研究，得出了许多有价值的结论。唐小我（1999）将上述结论推广到任意非线性成本函数的情形，并得到一些新的成果。
上述研究成果开辟了价格歧视的一个全新研究方向。在这个基础上王伟（2007）把竞争状态下的博弈均衡理论应用到三度价格歧视中，基于完全信息静态模型对处于二元市场上的两厂商在线性需求函数和成本函数的条件下实施三度价格歧视的有效性进行了系统研究，并得出了许多重要的结论。薛凤、陈绍刚（2010）基于古诺模型对竞争状态下两类差别定价的交互作用进行了研究，得出两类差别定价方式交替作用比只实施一类价格歧视获得的利润更大，这也是为什么越来越多的企业钟情于采取多种定价方式的主要原因。高兴佑（2014）则基于古诺模型把市场类型分为四种，分别研究了两类差别定价的交互效应。
无论是国外还是国内文献，都鲜有论及竞争状态下基于斯塔克伯格模型的二、三度价格歧视同时作用的交互效应，即讨论实力悬殊的一个领导厂商和一个追随厂商在多个子市场（三度价格歧视）上再进行二度价格歧视情况下厂商利润最大化的问题，但这却是现实中经常会遇到的问题。现实中很多同类型厂商的实力不相当，常常有一个领导厂商和一个或几个追随厂商共同做决策的情况。因此，竞争状态下的多厂商对多种差别定价工具的同时运用是一个在理论上及实践中必须考虑的问题。而二度价格歧视是厂商通过分段来获得更多消费者剩余，三度价格歧视是通过分市场来获得最大利润。虽然两者研究的方法不同，但是存在的条件和实施目的是一样的，都是通过价格歧视来获取最大利润。
那么，基于古诺模型和基于斯塔克伯格模型的两类差别定价有何区别？在满足什么条件时实力悬殊的两厂商采用两类差别定价法可达到最大利润以及此时的最优销量？最优价格是什么？本文将基于斯塔克伯格模型，用完全信息动态博弈的方法在实力悬殊的一个领导厂商和一个追随厂商参与市场竞争的情况下，基于线性需求函数和线性成本函数研究两类差别定价方法交互使用时，各厂商在对方决策制约条件下的利润最大化均衡结果以及交互效应。
二、两类差别定价方法的交互效应
陈绍刚、高兴佑，唐小我（2006）研究指出，对需求量区间的分段不是越多越好，一般以二至三段为宜。为简化起见，本文研究领导厂商1和追随厂商2在两个子市场中实施三段定价时的交互效应。假设厂商1、厂商2生产同一产品，厂商1入市多年、实力较雄厚，为领导企业，厂商2刚刚进入此行业不久、实力较弱，属于追随企业。该产品的总体市场根据不同的消费群体可分为两个相互隔离的子市场1、子市场2。设子市场1对厂商1、厂商2的需求量分别为；           子市场2对厂商1、厂商2的需求量分别为            （其中上标k表示第k个厂商，下标i表示第i个市场，k，i=1，2）。各厂商为了得到更多的消费者剩余，又分别在各自的子市场上通过分段来实施二度价格歧视。如移动和电信这两个实力不同的运营商首先根据地域的不同和消费时间的不同实施三度价格歧视，把流量分为闲时流量和忙时流量，再根据购买流量的多少分段收取不同的价格实施二度价格歧视。那么，分段区间如何划分，最优价格公式是什么，下文进行具体分析。
设每个厂商在各自子市场上把整个需求量区间分成三段，厂商1在其子市场1的分段为：
 
厂商1在子市场2的分段为：

同理，厂商2在子市场1的分段为：

厂商2在子市场2的分段为：

其中，      表示第k个厂商在第i个子市场的第j分段点的产量（k，i=1，2；j=1，2，3）。为方便起见，记           
（k，i=1，2）。
假设该市场对产品的需求函数和成本函数都为线性函数，其中需求函数为：P=a-bQ，成本函数为：TC=α+βQ（a，b，α，β均为正数），设厂商k在子市场i的           区间内的价格为    ，在区间              的价格为    ，在区间
             的价格为    （k，i=1，2）。由于两厂商在任何需求量下的产品定价都直接受制于市场对该产品总的需求函数，而不必知道自己的需求函数，因此子市场1在每段区间的价格只与厂商1、厂商2在该区间的总需求量有关。故厂商1在子市场1的          区间内的价格     =a-b（     +     ），同时也应等于厂商2在该区间的价格     。
同理，                                         （j=1，2，3），
即：             （1）
厂商1的成本函数为：

厂商2的成本函数为：
 
由于两个厂商中，领导厂商1较强、追随厂商2较弱，因此他们的产量决策是由领导厂商1先进行选择，厂商2需根据厂商1的决策来决定自己的产量；由于这两个厂商不仅有先后之分，且后选择的厂商在选择时知道前一个厂商的决策，因此这是一个动态博弈模型。考虑用逆推归纳法分析这个博弈，求解子博弈完美纳什均衡。先分析追随厂商2的决策，由于在厂商2决策时，厂商1选择的
                                     是已知的，因此对于厂商2来说，相当于给定             （j=1，2，3）的情况下，求
       （j=1，2，3）使得     最大。
厂商2的总利润为：

假设厂商2对两个市场的三段产量      、      、      、
                     同时做决定使自己的利润最大化，    最大化条件为：

解之得：
 （2）
这些实际上就是厂商2对厂商1产量的反应函数。假设两个厂商都是理性的，那么厂商1知道厂商2的这种决策思路，在选择自己的产量             （i=1，2，3）时，可以直接将（2）式代入自己的利润函数      中，有：

这样，厂商1的利润函数实际上转化成其自身产量                （j=1，2，3）的函数。厂商1再对两个市场的三段产量             （j=1，2，3）同时做决定，使自己的利润最大化，[φ（1）1]最大化条件为：

解之得：
[Q（1）11=Q（1）21=a+β2bQ（1）12=Q（1）22=a+2β2bQ（1）13=Q（1）23=a+3β2b]        （4）
把（4）式代入（2）式得：
[Q（2）11=Q（2）21=a-10β8bQ（2）12=Q（2）22=2a-16β8bQ（2）13=Q（2）23=3a-18β8b]         （5）
把（4）式、（5）式代入（1）式中得：
[P11=P21=3a+6β8P12=P22=2a+8β8P13=P23=a+6β8]                 （6）
把（4）式、（5）式、（6）式分别代入            中得：
 （7）
 （8）
由（7）、（8）式可以看出，基于斯塔克伯格模型的两类差别定价方法的交互效应下，领导厂商和追随厂商的利润公式只与α，β，a，b有关，这与基于古诺模型的两类差别定价方法的交互效应下两厂商利润公式无论从形式上还是内容上都很相似。
结论1：基于斯塔克伯格模型的两类差别定价方法的交互效应下，领导厂商和追随厂商要想在对方的制约下取得最大利润，则两厂商在各自市场的各个分段的产量和价格必须相同，即：                           （i=1，2，3）。而领导厂商掌握更多的信息且先进行决策，所以产量更多，即：                           （i=1，2，3）。
结论2：领导厂商先进行决策，故可通过选择较大的产量得到较多的利润，即：            。
证明如下：

若∇φ>0，则要求[a<-23+2463β]（舍），或[a>246-233β≈5.861 3β]。
由于我们讨论的是两个厂商分三段定价，所以（5）式      >0，即a>10β，这时定有∇φ>0。
结论3：基于斯塔克伯格模型的两类差别定价方法交互效应下，领导厂商1获得的最大利润     大于基于古诺模型的两类差别定价方法的交互效应下厂商1的利润  
（薛凤，2010）。

若[∇1φ>0]，则要求[a<-14-237 39823β（舍）]，或[a>（-14+237 39823）β≈2.816 1β]。由于a>10β，这时定有[∇1φ>0]。
以上所得结论与博弈论中古诺模型和斯塔克伯格模型的相关结论相似，这也符合现实中实力相当和实力悬殊两种情况下对相同的市场情况各厂商进行博弈以达到均衡的情形。不过以上结论是基于线性需求函数和线性成本函数的，当函数变成非线性或具有随机扰动项的函数时是否有类似的结论，还有待于进一步研究。
三、结束语
本文基于斯塔克伯格模型，用完全信息动态博弈的方法在一个领导厂商和一个追随厂商参与市场竞争且基于线性需求函数和线性成本函数的条件下，将市场分为两个子市场（即三度价格歧视）再进行二度价格歧视的研究，得出厂商们在对方决策制约条件下同时使用多种差别定价工具的利润最大化的相关公式，以及基于斯塔克伯格模型的两类差别定价方法的交互效应下，领导厂商获得的最大利润大于基于古诺模型的两类差别定价方法的交互效应下厂商的利润等重要结论。
该理论更接近现实生产实践。无论是航空定价、通信定价还是电商定价等，只要满足价格歧视的条件，都可以同时实施两类差别定价，具体各个行业的实施标准要依据实际情况而定。
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【基金项目】四川省软科学基金项目“传统委托代理模型的理论拓展及其应用研究”（项目编号：2013ZR0002）